0,999... = 1

De fleste har svært ved at tro på, at 0,999… er lig med én. Og det var et nul, et komma og uendeligt mange ni-taller. Hvis er er rigtigt mange ni-taller, så er det cirka én. Men hvis der er uendeligt mange ni-taller, giver det præcist én.

Her er beviset, som fik mig overbevist (brøk-beviset):

0,333… = 1/3

0,666… =  2/3

0,999… =  3/3 = 1

Men dette bevis er baseret på, at nul-komma-uendelig-mange-tre-taller er lig med 1/3. Her er et forsøg mere (ciffer-manipulation-beviset):

x = 0,999…

10x = 9,999…

10x – x = 9,999… – 0,999…

9x = 9

x = 1

0,999… = 1

Hvis ikke du er overbevist, så prøv at finde fejlen i beviset. ;-)

Nå, men det korte af det lange er: Uanset om man tror på det, er det korrekt. De professionelle matematikere er enige, og der er i øvrigt mange flere beviser på Wikipedia.

Det sjove for mig, er folks reaktioner på min påstand. Jeg har observeret 4 forskellige:

  • Er enig
  • Giver mig ret, efter at have set et bevis eller to
  • Tror på mig uden at forstå det
  • Nægter at tro på det, trods beviser og at alle professionelle matematikere er enige om at det er sandt

Hvilken type er du? ;-)

3 comments to 0,999… = 1

  • Xploitz

    Synes godt om din blog. Keep it up :)

  • Jeg var overbevist efter det første bevis med brøker :)

  • Iver

    Jeg må være en ny type. Det er jo cirkulære argumenter. Har man accepteret den præsenterede logiks præmis; at 0,333… = 1/3 og x = 0,999…, ja så giver resten sig selv. Jeg har dog altid troet, at 0,333… var en tilnærmelse til og IKKE = 1/3. Har man besluttet det i matematikken, så giver det fint mening.

    For mig giver det dog slet ikke mening, at man vil bevise 0,999… = 3/3 = 1 ved at starte med 0,333… = 1/3. Jeg vil dog hellere se “beviset for at man kan starte med det som udgangspunkt for sin bevisførelse… som jeg læser dit wiki link, så er det også der “magien” sker:

    But the proofs shed little light on the fundamental relationship between decimals and the numbers they represent, which underlies the question of how two different decimals can be said to be equal at all.[1] William Byers argues that a student who agrees that 0.999… = 1 because of the above proofs, but hasn’t resolved the ambiguity, doesn’t really understand the equation.[2] Fred Richman argues that the first argument “gets its force from the fact that most people have been conditioned to accept the first line without thinking”.[3]

    Once a representation scheme is defined, it can be used to justify the rules of decimal arithmetic used in the above proofs. Moreover, one can directly demonstrate that the decimals 0.999… and 1.000… both represent the same real number, it is built into the definition. This is done below

    Så jeg stiller spørgsmålet retur – hvilken type er du?

Leave a Reply to Iver

 

 

 

You can use these HTML tags

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>